平均2乗連続過程$f: \Omega \times E\rightarrow {\mathbb R}$の共分散関数が$k$であれば、共分散作用素が$H\ni g\mapsto \int_Ek(\cdot,y)g(y)d\mu(y)$となるランダム作用素が存在する

テキストと同様の方法で、$\{(E_i,x_i)\}_{1\leq i\leq M(n)}$を決めます。そして$$F(\omega,x; \{(E_i,x_i)\}_{1\leq i\leq M(n)})=\sum_{i=1}^{m(n)}I_{E_i}(x)f(\omega,x_i)$$とおき、$n$を$n'(\leq n)$に置き換えたものとの差の2乗平均誤差をとります。平均は確率空間$(\Omega,{\cal F}, P)$と測度空間$(E,B(E),\mu)$の両方に関してです。
\begin{eqnarray*}&&\int_{\Omega}\int_E\left\{F(\omega,x; \{(E_i,x_i)\}_{1\leq i\leq M(n)})-F(\omega,x; \{(E_i’,x_i’)\}_{1\leq i\leq M(n’)})\right\}^2d\mu(x)dP(\omega)\\
&=&\int_{\Omega}\left\{\sum_{i=1}^{m(n)}f(\omega,x_i)\int_{E_i}d\mu(x)-
\sum_{i=1}^{m(n’)}f(\omega,x’_i)\int_{E’_i}d\mu(x)\right\}^2dP(\omega)
\end{eqnarray*}テキストの方法と同様にこの値は0に収束します。すなわち、任意のCauchy列が収束したことになり、完備であることも考えると、\begin{eqnarray*}\int_{\Omega}\int_E\left\{F(\omega,x; \{(E_i,x_i)\}_{1\leq i\leq M(n)})-F(\omega,x)\right\}^2d\mu(x)dP(\omega)\rightarrow 0\end{eqnarray*}であって、$\int_\Omega\int_E\{F(\omega,x)\}^2d\mu(x)dP(\omega)<\infty$なる$F$が存在します。そして、$\int_E\{F(\omega,x)\}^2d\mu(x)=\infty$なる事象$A\subseteq \Omega$について、$F(\omega,x)=0$, $\omega\in A$というように$F$を修正すると、任意の$\omega\in \Omega$について、$\int_E\{F(\omega,x)\}^2d\mu(x)<\infty$とできます。したがって、$F(\cdot,\omega)\in H=L^2(E,B(E),\mu)$がすべての$\omega\in \Omega$についていえて、命題70(1)の議論から、そのような$F$は$L^2(E,B(E),\mu)$のランダム要素になります。

そして、$F$の共分散作用素${\mathbb E}[F\otimes F]$は、各$h_1,h_2\in L^2(E,B(E),\mu)$を適用すると、$\langle {\mathbb E}[F\otimes F]h_1,h_2\rangle={\mathbb E}(\langle F,h_1\rangle \langle F,h_2\rangle)$となり、それは\begin{eqnarray*}&&\int_{\Omega}\sum_{i=1}^{m(n)}f(\omega,x_i)\int_{E_i}h_1(x)d\mu(x)
\sum_{j=1}^{m(n)}f(\omega,x_j)\int_{E_i}h_2(y)d\mu(y)dP(\omega)\\&=&\sum_{i=1}^{m(n)}\sum_{j=1}^{m(n)}k(x_i,x_j)\int_{E_i}h_1(x)d\mu(x)\int_{E_i}h_2(y)d\mu(y)\end{eqnarray*}の$n\rightarrow \infty$の極限であって、作用素$L^2(E,B(E),\mu)\ni h\mapsto \int_E k(\cdot,y)h(y)d\mu(y)$を適用することと同じになります。