「正規分布にしたがう確率変数の和が確率変数にしたがう」という命題を、1年生後期の統計学で積率母関数を用いて証明しています。

100問シリーズの次の巻「確率的グラフィカルモデルと因果推論」で、積率母関数を用いない証明でスッキリしたものが完成したので(自己満足ですが)お見せします。他のブログにも載っていますが、スジのよいものがないとぼやいていました。計算が複雑で、普通にやるとめげやすいです。

独立な確率変数 \( X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2) \) および \( Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2) \) があり、それぞれの確率密度関数を \( f_X(x) \) および \( f_Y(y) \) とると、和 \( X + Y \) の確率密度関数 \( f_{X+Y}(x) \) は、
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x – y) f_Y(y) \, dy = \frac{1}{2 \pi \sigma_X \sigma_Y} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{ -\frac{(x – y – \mu_X)^2}{2\sigma_X^2} – \frac{(y – \mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2} \right\} \, dy
\]であり、指数部分の$y^2$, $y$の係数、定数項はそれぞれ、
\[
-\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sigma_X^2} + \frac{1}{\sigma_Y^2} \right), \hspace{5mm}
\left( \frac{x – \mu_X}{\sigma_X^2} + \frac{\mu_Y}{\sigma_Y^2} \right)
, \hspace{5mm}
-\frac{(x – \mu_X)^2}{2\sigma_X^2} – \frac{\mu_Y^2}{2\sigma_Y^2}
\]になるので、平方完成は
\[
ay^2 + by = a\left(y + \frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{b^2}{4a},
\hspace{3mm}
a = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sigma_X^2} + \frac{1}{\sigma_Y^2} \right),
\hspace{3mm}
b = \frac{x – \mu_X}{\sigma_X^2} + \frac{\mu_Y}{\sigma_Y^2}
\]となる。また、
$$
\begin{aligned}
&-\frac{b^2}{4a}+(定数項)=\frac{\left\{\sigma_Y^2(x-\mu_X)+\sigma_X^2\mu_Y\right\}^2}{2(\sigma_X^2+\sigma_Y^2)\sigma_X^2\sigma_Y^2}-
\frac{(x – \mu_X)^2}{2\sigma_X^2} – \frac{\mu_Y^2}{2\sigma_Y^2}\\
=&\frac{\{\sigma_Y^2(x-\mu_X)+\sigma_X^2\mu_Y\}^2-(\sigma_X^2+\sigma_Y^2)
\sigma_Y^2(x-\mu_X)^2-(\sigma_X^2+\sigma_Y^2)\sigma_X^2\mu_Y^2
}{2(\sigma_X^2+\sigma_Y^2)\sigma_X^2\sigma_Y^2}\\
=&-\frac{(x-\mu_X-\mu_Y)^2}{2(\sigma_X^2+\sigma_Y^2)}
\end{aligned}
$$となる。また、正規分布の確率密度関数を積分して1になることより、
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \exp
\left\{a(y+\frac{b}{2a})^2 \right\}\, dy
=\sqrt{2 \pi (-\frac{1}{2a})}=\sqrt{2 \pi (\frac{1}{\sigma_X^2}+\frac{1}{\sigma_Y^2})^{-1}}
=\sqrt{2\pi\frac{\sigma_X^2\sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}}
\]であるから、
$$
\begin{aligned}
f_{X+Y}(x) &=
\frac{1}{\sqrt{2 \pi (\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)}}
\exp\{ -\frac{(x – (\mu_X + \mu_Y))^2}{2(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)} \}
\end{aligned}
$$が成立する。これは、\( N(\mu_X + \mu_Y, \sigma_X^2 + \sigma_Y^2) \) の確率密度関数である。