証明だけ書いておきます。

$f:\Omega\times E\rightarrow {\mathbb R}$が$RKHS(k)$のランダム要素であれば、$\Omega\ni\omega\mapsto f(\omega,\cdot)\in RKHS(k)$が可測です。内積は連続な写像であり、再生性から各$x\in E$で$\langle f(\omega,\cdot),k(\cdot,x)\rangle=f(\omega,x)$が成立するので、各$x\in E$で$\Omega\ni\omega\mapsto f(\omega,x)\in {\mathbb R}$が可測であり、確率変数になります。

逆に、$f$が$RKHS(k)$に値をとる確率変数、つまり各$\omega\in \Omega$で$f(\omega,\cdot)\in RKHS(k)$であって$\Omega\ni\omega\mapsto f(\omega,x)$が各$x\in E$で可測であることを仮定しましょう。各$g\in RKHS(k)$に対して、$\|g_n-g\|\rightarrow 0$となるような$g_n(\cdot):=\sum_{i=1}^na_ik(\cdot,x_i) $を構成できます。再生性から、$\langle f(\omega,\cdot),g_n\rangle=\sum_{i=1}^na_if(\omega,x_i)$とでき、各$n$で可測です。そして、内積の連続性から$\langle f(\omega,\cdot),g\rangle$はその極限であり、可測であることがわかります。$g\in RKHS(k)は任意でしたので、命題70(1)の議論から、$\Omega\ni \omega\mapsto f(\omega,\cdot)\in RKHS(k)$は可測になります。