(3.10)(3.11)の更新式を以前に説明しました。スパースグループLassoは、$f=g+k+h$, $g,k,h$は凸、$g$は微分可能という一般的な場合を扱います。
\[\gamma\leftarrow \beta+\nu X^T(y-X\beta) \tag{3.10}\]
\[\beta \leftarrow (1-\frac{\nu \lambda}{\|\gamma\|_2})_+\gamma\tag{3.11}\]
の間に更新式をいれて、
$$\gamma\leftarrow \beta+\nu X^T(y-X\beta) $$
$$\delta \leftarrow {S}_{\lambda\alpha}(\gamma)$$
$$\beta \leftarrow (1-\frac{\nu \lambda(1-\alpha)}{\|\delta\|_2})_+\delta$$
としたのがスパースグループLassoです。特に、最後の2式をまとめたのが、
\[\beta\leftarrow (1-\frac{\nu\lambda(1-\alpha)}{\|S_{\lambda \alpha}(\gamma)\|})_+S_{\lambda\alpha}(\gamma) \tag{3.23}\]
になります。$k(\gamma)=\alpha\lambda \|\gamma\|_1$, $h(\delta)=(1-\alpha)\lambda\|\delta\|_2$が微分可能であれば
$$\gamma \leftarrow \beta-\nu \nabla g(\beta)$$
$$\delta \leftarrow \gamma-\lambda\alpha$$
$$ \beta \leftarrow \delta -\nu\lambda(1-\alpha)\frac{\delta}{\|\delta\|_2}$$
とできます。