\[\gamma\leftarrow \beta+\nu X^T(y-X\beta) \tag{3.10}\]
\[\beta \leftarrow (1-\frac{\nu \lambda}{\|\gamma\|_2})_+\gamma\tag{3.11}\]
を更新することによって、1グループ(複数変数)のグループLassoの解が得られます。これは、近接勾配法で、ある$\nu>0$に対して
$$\beta \leftarrow \beta-\nu (\nabla g+\partial h)$$
なる更新を繰り返すことと同じです。それによって、$f=g+h$の最小化がはかれます。ただし、$g,h$は凸, $g$は微分可能, $\partial h$で$h$の劣微分をあらわします。(3.10)(3.11)の両方に$\nu$があるのは、近接勾配法の漸化式で$\nabla g$, $\partial h$同じが$\nu$倍されていることに起因します。$h(\gamma)=\lambda \|\gamma\|_2$が微分できる場合、$\partial h(\gamma)=\lambda \frac{\gamma}{\|\gamma\|_2}$となり、(3.11)は
$$\beta \leftarrow \gamma-\nu \lambda\frac{\gamma}{\|\gamma\|_2}$$
とかけます。また$g(\beta)=\frac{1}{2}\|y-X\beta\|^2$を微分すると$\nabla g(\beta)=-X^T(y-X\beta)$となり、(3.10)(3.11)は、
$$\gamma \leftarrow \beta-\nu \nabla g$$
$$\beta \leftarrow \gamma-\nu \partial h$$
を交互に行っていることになります。