いろいろな教科書にあると思いますが、講義でよく用いるので、私の好きな書き方で証明してみました。「$H_0$を内積空間とする。Hilbert空間$H$があって、$H_0$は$H$の稠密な部分空間と等長的同型になる。このような$H$($H_0$の完備化)は同型を除いて一意に決まる。」。下記の証明では、実数全体$H={\mathbb R}$は有理数からなるCauchy列の集合の同値類(同じ値に収束するCauchy列どうしを同値とする)と読み替えることができます。

$H$とその内積を定義

体$K$上の内積空間$H_0$のCauchy列全体を$X$、$\{x_n\}_{n=1}^\infty,\{y_n\}_{n=1}^\infty\in X$の同値関係$\{x_n\}_{n=1}^\infty\sim\{y_n\}_{n=1}^\infty$を$\|x_n-y_n\|_{H_0}\rightarrow 0$ ($n\rightarrow \infty$)とし、その商を$H:=X/\sim$と書くものとします。そして、$\{x_n\}_{n=1}^\infty\in X$のクラスを$[\{x_n\}_{n=1}^\infty]\in H$と書くと、$\{x_n\}_{n=1}^\infty,\{y_n\}_{n=1}^\infty\in X$, $\alpha,\beta\in {K}$について、$[\{x_n\}_{n=1}^\infty],[\{y_n\}_{n=1}^\infty]\in H$, $\alpha x_n+\beta y_n\in H_0$, $$\alpha[\{x_n\}_{n=1}^\infty]+\beta[\{y_n\}_{n=1}^\infty]=[\{\alpha x_n+\beta y_n\}_{n=1}^\infty]\in H$$が成立し、$H$は線形空間となります(クラスの代表元によらないことはお確かめください)。また、$H$における内積を$$\langle [\{x_n\}_{n=1}^\infty], [\{y_n\}_{n=1}^\infty]\rangle_H:=\lim_{n\rightarrow\infty}\langle x_n, y_n\rangle_{H_0}$$で定義します。右辺の極限が存在し、その代表元によらないことは、以下のように示せます。$\{x_n\}_{n=1}^\infty\in X$に対して、$|\|x_n\|_{H_0}-\|x_m\|_{H_0}|\leq \|x_n-x_m\|_{H_0}$より$\{\|x_n\|_{H_0}\}$はCauchyで、したがって有界です。そして、Cauchy列$\{x_n\}_{n=1}^\infty,\{y_n\}_{n=1}^\infty \in X$に対して、\begin{eqnarray*}|\langle x_n,y_n\rangle_{H_0} – \langle x_m,y_m\rangle_{H_0}|&\leq& |\langle x_n-x_m,y_n\rangle_{H_0}| + |\langle x_m,y_n-y_m\rangle_{H_0}|\\&\leq& \|y_n\|\cdot \|x_n-x_m\|_{H_0} + \|x_m\|\cdot \|y_n-y_m\|_{H_0}\rightarrow 0\end{eqnarray*}が成立し、実数列$\langle x_n,y_n\rangle_{H_0}$は収束します。また、$\{x_n\}_{n=1}^\infty\sim\{x_n’\}_{n=1}^\infty$, $\{y_n\}_{n=1}^\infty\sim\{y_n’\}_{n=1}^\infty$のとき、
$$|\langle x_n,y_n\rangle_{H_0}-\langle x_n’,y_n’\rangle_{H_0}|\leq \|y_n’\|\cdot \|x_n’-x_n\|_{H_0} + \|x_n\|\cdot \|y_n-y_n’\|_{H_0}\rightarrow 0$$より、代表元のとりかたによらないことがわかります。

$H_0$は$H$で稠密

次に、$T: H_0\rightarrow H$を$x\mapsto [\{x,x,\ldots\}]$で定義すると、$\langle Tx,Tx\rangle_{H}=\langle x,x\rangle_{H_0}$を満たすので等長写像です。$T$の像は、$H$で稠密でもあります。実際、$\{x_n\}_{n=1}^\infty\in X$について、$Tx_l=[\{x_l,x_l,\ldots\}]$は、\begin{eqnarray*}\|Tx_l-[\{x_n\}_{n=1}^\infty]\|_H^2&=&
\langle Tx_l,Tx_l\rangle_{H}-2\langle Tx_l,[\{x_n\}_{n=1}^\infty]\rangle_{H}+\langle [\{x_n\}_{n=1}^\infty],[\{x_n\}_{n=1}^\infty]\rangle_{H}\\
&=&\langle x_l,x_l\rangle_{H_0}-2\lim_{n\rightarrow \infty}\langle x_l,x_n\rangle_{H_0}+\lim_{n\rightarrow \infty}\langle x_n,x_n\rangle_{H_0}=\lim_{n\rightarrow \infty}\|x_l-x_n\|^2_{H_0}
\end{eqnarray*}さらに、$\{x_n\}_{n=1}^\infty$はCauchyであるので、$l\rightarrow \infty$で右辺は0となります。すなわち、$x_1\leftrightarrow [\{x_1,\ldots\}]$, $x_2\leftrightarrow [\{x_2,\ldots\}]$, $\ldots$, が$[\{x_1,x_2,\ldots\}]$に収束します。$[\{x_n\}_{n=1}^\infty]$は$H$の任意の要素ですから、$H_0$は$H$の稠密な部分空間であることが示せました。

$H$は完備

最後に$H$の完備性を示します。$\{x_n^{(1)}\}_{n=1}^\infty, \{x_n^{(2)}\}_{n=1}^\infty,\ldots \in X$について、$[\{x_n^{(1)}\}_{n=1}^\infty], [\{x_n^{(2)}\}_{n=1}^\infty],\ldots \in H$がCauchyであると仮定します。内積の定義から、$$\|[\{x_n^{(l)}\}_{n=1}^\infty]-[\{x_n^{(m)}\}_{n=1}^\infty]\|_H=\lim_{n\rightarrow\infty}\|x_n^{(l)}-x_n^{(m)}\|_{H_0}$$であり、$[\{x_n^{(1)}\}_{n=1}^\infty], [\{x_n^{(2)}\}_{n=1}^\infty],\ldots$がCauchyであるので、任意の$\epsilon>0$について、ある正整数$N$があって、$$l,m,n\geq N \Longrightarrow \|x_n^{(l)}-x_n^{(m)}\|_{H_0}<\epsilon$$とできます。また、$$m,n\geq N \Longrightarrow \|x_n^{(n)}-x_m^{(m)}\|_{H_0}<\epsilon$$とできるので、$\{x_n^{(n)}\}_{n=1}^\infty$は$H_0$のCauchy列となります。特に、$\{x_n^{(n)}\}_{n=1}^\infty\in X$, $[\{x_n^{(n)}\}_{n=1}^\infty]\in H$が成立します。したがって、$$\|[\{x_n^{(n)}\}_{n=1}^\infty]-[\{x_n^{(l)}\}_{n=1}^\infty]\|_H^2=\lim_{n\rightarrow \infty}\|x_n^{(n)}-x_n^{(l)}\|^2_{H_0}$$において$l$を十分大きくとると、右辺を十分に小さくできます。したがって、$l\rightarrow \infty$で、$$H\ni [\{x_n^{(l)}\}_{n=1}^\infty]\rightarrow [\{x_n^{(n)}\}_{n=1}^\infty]\in H$$が示されました。