いろいろな教科書にあると思いますが、講義でよく用いるので、私の好きな書き方で証明してみました。「$H_0$を内積空間とする。Hilbert空間$H$があって、$H_0$は$H$の稠密な部分空間と等長的同型になる。このような$H$($H_0$の完備化)は同型を除いて一意に決まる。」。下記の証明では、実数全体$H=\mathbb{R}$は有理数からなるCauchy列の集合の同値類(同じ値に収束するCauchy列どうしを同値とする)と読み替えることができます。

$H$とその内積を定義

体$K$上の内積空間$H_0$のCauchy列全体を$X$、$\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},\{y_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in X$の同値関係$\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sim \{y_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$を$\Vert x_n-y_n{\Vert }_{H_0}\to 0$ ($n\to \mathrm{\infty }$)とし、その商を$H:=X/\sim$と書くものとします。そして、$\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in X$のクラスを$[\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]\in H$と書くと、$\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},\{y_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in X$, $\alpha ,\beta \in K$について、$[\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}],[\{y_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]\in H$, $\alpha x_n+\beta y_n\in H_0$, $$\alpha [\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]+\beta [\{y_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]=[\{\alpha x_n+\beta y_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]\in H$$が成立し、$H$は線形空間となります(クラスの代表元によらないことはお確かめください)。また、$H$における内積を$$⟨[\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}],[\{y_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]{⟩}_H:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}⟨x_n,y_n{⟩}_{H_0}$$で定義します。右辺の極限が存在し、その代表元によらないことは、以下のように示せます。$\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in X$に対して、$|\Vert x_n{\Vert }_{H_0}-\Vert x_m{\Vert }_{H_0}|\le \Vert x_n-x_m{\Vert }_{H_0}$より$\{\Vert x_n{\Vert }_{H_0}\}$はCauchyで、したがって有界です。そして、Cauchy列$\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},\{y_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in X$に対して、$$\begin{array}{rcl}|⟨x_n,y_n{⟩}_{H_0}–⟨x_m,y_m{⟩}_{H_0}|& \le & |⟨x_n-x_m,y_n{⟩}_{H_0}|+|⟨x_m,y_n-y_m{⟩}_{H_0}|\\ & \le & \Vert y_n\Vert \cdot \Vert x_n-x_m{\Vert }_{H_0}+\Vert x_m\Vert \cdot \Vert y_n-y_m{\Vert }_{H_0}\to 0\end{array}$$が成立し、実数列$⟨x_n,y_n{⟩}_{H_0}$は収束します。また、$\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sim \{x_n^{\prime }{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, $\{y_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sim \{y_n^{\prime }{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$のとき、
$$|⟨x_n,y_n{⟩}_{H_0}-⟨x_n^{\prime },y_n^{\prime }{⟩}_{H_0}|\le \Vert y_n^{\prime }\Vert \cdot \Vert x_n^{\prime }-x_n{\Vert }_{H_0}+\Vert x_n\Vert \cdot \Vert y_n-y_n^{\prime }{\Vert }_{H_0}\to 0$$より、代表元のとりかたによらないことがわかります。

$H_0$は$H$で稠密

次に、$T:H_0\to H$を$x\mapsto [\{x,x,\dots \}]$で定義すると、$⟨Tx,Tx{⟩}_H=⟨x,x{⟩}_{H_0}$を満たすので等長写像です。$T$の像は、$H$で稠密でもあります。実際、$\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in X$について、$T{x}_l=[\{x_l,x_l,\dots \}]$は、$$\begin{array}{rcl}\Vert T{x}_l-[\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]{\Vert }_H^2& =& ⟨T{x}_l,T{x}_l{⟩}_H-2⟨T{x}_l,[\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]{⟩}_H+⟨[\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}],[\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]{⟩}_H\\ & =& ⟨x_l,x_l{⟩}_{H_0}-2\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}⟨x_l,x_n{⟩}_{H_0}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}⟨x_n,x_n{⟩}_{H_0}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert x_l-x_n{\Vert }_{H_0}^2\end{array}$$さらに、$\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$はCauchyであるので、$l\to \mathrm{\infty }$で右辺は0となります。すなわち、$x_1\leftrightarrow [\{x_1,\dots \}]$, $x_2\leftrightarrow [\{x_2,\dots \}]$, $\dots$, が$[\{x_1,x_2,\dots \}]$に収束します。$[\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]$は$H$の任意の要素ですから、$H_0$は$H$の稠密な部分空間であることが示せました。

$H$は完備

最後に$H$の完備性を示します。$\{x_n^{(1)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},\{x_n^{(2)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},\dots \in X$について、$[\{x_n^{(1)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}],[\{x_n^{(2)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}],\dots \in H$がCauchyであると仮定します。内積の定義から、$$\Vert [\{x_n^{(l)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]-[\{x_n^{(m)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]{\Vert }_H=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert x_n^{(l)}-x_n^{(m)}{\Vert }_{H_0}$$であり、$[\{x_n^{(1)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}],[\{x_n^{(2)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}],\dots$がCauchyであるので、任意の$ϵ>0$について、ある正整数$N$があって、$$l,m,n\ge N⟹\Vert x_n^{(l)}-x_n^{(m)}{\Vert }_{H_0}<ϵ$$とできます。また、$$m,n\ge N⟹\Vert x_n^{(n)}-x_m^{(m)}{\Vert }_{H_0}<ϵ$$とできるので、$\{x_n^{(n)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$は$H_0$のCauchy列となります。特に、$\{x_n^{(n)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in X$, $[\{x_n^{(n)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]\in H$が成立します。したがって、$$\Vert [\{x_n^{(n)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]-[\{x_n^{(l)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]{\Vert }_H^2=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert x_n^{(n)}-x_n^{(l)}{\Vert }_{H_0}^2$$において$l$を十分大きくとると、右辺を十分に小さくできます。したがって、$l\to \mathrm{\infty }$で、$$H\ni [\{x_n^{(l)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]\to [\{x_n^{(n)}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]\in H$$が示されました。