トレースクラスの作用素

行列ARm×nを特異値分解してA=UΣVと書くものとします。ただし、 URm×n, ΣRn×n, VRn×nとし、UU=VV=Iが成立し、Σは対角行列でその各成分(特異値)は非負の値をとります。このとき、AA=VΣ2V=(VΣV)2とできます。また、正方行列|A|:=VΣVのトレースは、Σの特異値λ1,,nの和で常に非負になります。|A|(i,j)成分は、|A|i,j=k=1nvi,kλkvj,kとかけるので、|A|のトレース(対角成分の和)はi=1n|A|i,i=i=1nk=1nvi,kλkvj,i=k=1nλki=1nvi,k2=i=1nλkとなります。トレースというとm=nのときのi=1nAi,iをさすことが多いですが、関数解析では、i=1n|A|i,iのことをトレースノルムといいます。両者は非負定値対称のときに一致し、特異値λ1,,λnは固有値になります。

同様の概念を一般の線型作用素にも適用できます。線型作用素のTについて、|T|:={TT}1/2と書いて、i=1|T|ei,eiと書きます。{}1/2は作用素の平方根でと呼ばれるものです。トレースノルムがが有限のときその作用素はトレースクラスであるといいます。そして、自己共役のときにi=1Tei,eiをトレースといい、さらに非負定値のときにトレース、トレースクラスは一致します。「機械学習のためのカーネル」の第2章の最後のトレース作用素の箇所では、自己共役かつ非負定値の線型作用素のみを扱っていて、両者は一致します。