行列$A\in {\mathbb R}^{m\times n}$を特異値分解して$A=U\Sigma V^\top$と書くものとします。ただし、 $U\in {\mathbb R}^{m\times n}$, $\Sigma \in {\mathbb R}^{n\times n}$, $V\in {\mathbb R}^{n\times n}$とし、$U^\top U=V^\top V=I$が成立し、$\Sigma$は対角行列でその各成分(特異値)は非負の値をとります。このとき、$$A^\top A= V\Sigma^2V^\top=(V \Sigma V^\top)^2$$とできます。また、正方行列$|A|:=V \Sigma V^\top$のトレースは、$\Sigma$の特異値$\lambda_1,\ldots,n$の和で常に非負になります。$|A|$の$(i,j)$成分は、$|A|_{i,j}=\sum_{k=1}^nv_{i,k}\lambda_{k}v_{j,k}$とかけるので、$|A|$のトレース(対角成分の和)は$$\sum_{i=1}^n |A|_{i,i}=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^nv_{i,k}\lambda_{k}v_{j,i}=\sum_{k=1}^n \lambda_k \sum_{i=1}^n v_{i,k}^2=\sum_{i=1}^n \lambda_k$$となります。トレースというと$m=n$のときの$\sum_{i=1}^nA_{i,i}$をさすことが多いですが、関数解析では、$\sum_{i=1}^n |A|_{i,i}$のことをトレースノルムといいます。両者は非負定値対称のときに一致し、特異値$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$は固有値になります。

同様の概念を一般の線型作用素にも適用できます。線型作用素の$T$について、$|T|:=\{T^*T\}^{1/2}$と書いて、$\sum_{i=1}^\infty\langle |T|e_i,e_i\rangle$と書きます。$\{\cdot\}^{1/2}$は作用素の平方根でと呼ばれるものです。トレースノルムがが有限のときその作用素はトレースクラスであるといいます。そして、自己共役のときに$\sum_{i=1}^\infty\langle Te_i,e_i\rangle$をトレースといい、さらに非負定値のときにトレース、トレースクラスは一致します。「機械学習のためのカーネル」の第2章の最後のトレース作用素の箇所では、自己共役かつ非負定値の線型作用素のみを扱っていて、両者は一致します。