$E$を距離空間として、$k: E\times E\times E \rightarrow {\mathbb R}$として、$x,y\in E$の距離を$z$としたときに、\begin{equation}\label{eq6-11}
\varphi_\nu(z):=\frac{2^{1-\nu}}{\Gamma(\nu)}\left(\frac{\sqrt{2\nu}z}{l}\right)^\nu K_\nu(\frac{\sqrt{2\nu}z}{l})
\end{equation}によって定義される正定値カーネル$k(x,y)=\varphi_\nu(z)$をMaternカーネルといいます。ただし、$\nu,l>0$はカーネルのパラメータ、$K_\nu$は第2種変形Bessel関数です。$$K_\nu(x):=\frac{\pi}{2}\frac{I_{-\nu}(x)-I_\nu(x)}{\sin(\nu x)}, \hspace{10mm}I_\nu(x):=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}$$

Maternカーネルは$\nu$を切り上げした整数の回数だけ微分でき、$\nu\rightarrow\infty$でGaussカーネル$$\varphi_\infty(z)=\exp(-\frac{z^2}{2l^2})$$に収束します。

以下では、$p$を非負整数として$\nu=p+1/2$とかけるとき、
$$\varphi_\nu(z)=\exp\left(-\frac{\sqrt{2\nu }z}{l}\right)\frac{\Gamma(p+1)}{\Gamma(2p+1)}\sum_{i=0}^p \frac{(p+i)!}{i!(p-i)!}\left(\frac{\sqrt{8\nu}z}{l}\right)^{p-i}$$となることを示します。この公式はよく使われていますが、証明を載せている文献やネットの記事などが少ないので、メモのために書いておきました。

具体的には、以下の2式を示します。$$K_{\nu}(\frac{\sqrt{2\nu}z}{l})=\sqrt{\pi}\exp\left(-\frac{\sqrt{2\nu}z}{l}\right)\sum_{i=0}^p\frac{(p+i)!}{i!(p-i)!}\left(\frac{\sqrt{2\nu z}}{l}
\right)^{-\nu}2^{-\nu+p-i}$$ $$\frac{2^{1-\nu}}{\Gamma(\nu)}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(p+1)}{\Gamma(2p+1)}2^\nu$$

まず、変形第2種Bessel関数は、一般に$$K_{p+1/2}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}e^{-x}\sum_{i=0}^p\frac{(p+i)!}{i!(p-i)!}(\frac{1}{2x})^i$$とできます(Abramowitz and Stegun (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. ISBN 0-486-61272-4.)。この公式に、$x=\sqrt{2\nu}z/l=\sqrt{2p+1}z/l$を代入すると、
\begin{eqnarray*}K_{\nu}(\frac{\sqrt{2\nu}}{l}z)&=&\sqrt{\frac{\pi}{2\sqrt{2\nu}z/l}}\exp\left(-\frac{\sqrt{2\nu}z}{l}\right)\sum_{i=0}^p\frac{(p+i)!}{i!(p-i)!}(\frac{1}{2\sqrt{2\nu}z/l})^i\\&=&\sqrt{\pi}\exp\left(-\frac{\sqrt{2\nu}z}{l}\right)\sum_{i=0}^p\frac{(p+i)!}{i!(p-i)!}\left(\frac{2\sqrt{2\nu z}}{l}
\right)^{-i-1/2}\end{eqnarray*}が成立します。

他方、Gamma関数の性質として、$x\Gamma(x)=\Gamma(x+1)$, $x>0 \hspace{3mm}$ や$\hspace{3mm} \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi} \hspace{3mm}$などが成立しますが$$\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{n+1}{2})=\Gamma(n)2^{1-n}\sqrt{\pi},\hspace{3mm}n\geq 1$$なども成立します(一般の正の実数でも成立します)。$n=1$のとき両辺とも$\sqrt{\pi}$で一致し、$n=k$で等号が性質すれば、$n=k+1$で左辺は$$ \Gamma(\frac{k+1}{2})\Gamma(\frac{k+2}{2})=\Gamma(\frac{k+1}{2})\cdot \frac{k}{2}\Gamma(\frac{k}{2})=\frac{k}{2}\cdot \Gamma(k)2^{1-k}\sqrt{\pi}=\Gamma(k+1)2^{1-(k+1)}$$となり、$n=k+1$でも等号が成立することがわかります。これより、
$$\frac{2^{1-2p}}{\Gamma(p+1/2)}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(p+1)}{\Gamma(2p+1)},\hspace{10mm} \frac{2^{1-\nu}}{\Gamma(\nu)}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(p+1)}{\Gamma(2p+1)}2^\nu$$
が得られます。