Aronszajnというカーネルの数学者の結果です。「機械学習のためのカーネル 100問」の3.1節に掲載していますが、少しくだいてみました。テキストを最初から読んでいるか、関数解析を勉強したことのある人なら理解できると思います。

$H_1,H_2$をHilbert空間としたときに、その直積
$F:=H_1\times H_2$は、内積
$$⟨(f_1,f_2),(g_1,g_2){⟩}_F:=⟨f_1,g_1{⟩}_{H_1}+⟨f_2,g_2{⟩}_{H_2},f_1,g_1\in H_1,f_2,g_2\in H_2$$のもとで、Hilbert空間になります。実際、$\Vert f_{1,n}-f_{1,m}{\Vert }_{H_1}$, $\Vert f_{2,n}-f_{2,m}{\Vert }_{H_2}$が
$$\sqrt{\Vert f_{1,n}-f_{1,m}{\Vert }_{H_1}^2+\Vert f_{2,n}-f_{2,n}{\Vert }_{H_2}^2}=\Vert (f_{1,n},f_{2,n})-(f_{1,m},f_{2,m}){\Vert }_F$$以下であることを用いると、以下が成立します。
$\{(f_{1,n},f_{2,n})\}$がCauchy $⟹$ $\{f_{1,n}\}$, $\{f_{2,n}\}$がCauchy
$⟹$ $\{f_{1,n}\}$, $\{f_{2,n}\}$がある$f_1\in H_1,f_2\in H_2$に収束
$⟹$ $\Vert (f_{1,n},f_{2,n})-(f_1,f_2){\Vert }_F=\sqrt{\Vert f_{1,n}-f_1{\Vert }^2+\Vert f_{2,n}-f_2{\Vert }^2}\to 0$
$⟹$ $\{(f_{1,n},f_{2,n})\}$が$(f_1,f_2)\in F$に収束
すなわち、$H_1$,$H_2$が完備なら、$F$も完備です。

次に、$H_1,H_2$の直和
$H:=H_1+H_2:=\{f_1+f_2|f_1\in H_1,f_2\in H_2\}$について考えます。$F$を写像$$u:F\ni (f_1,f_2)\mapsto f_1+f_2\in H$$の核$N:=\{(f_1,f_2)\in F|f_1+f_2=0\}$と、その直交補空間$N^{\perp }:=\{x\in F\mid ⟨x,y⟩=0,y\in N\}$に分解すると、$$N\cap N^{\perp }=\{(0,0)\}$$が成立します。ここで、$u$を$N^{\perp }$に制限した$v:N^{\perp }\to H$は単射$$v(f_1,f_2)=v(f_1\prime ,f_2\prime )⟹(f_1,f_2)=(f_1\prime ,f_2\prime )$$になります。実際、$f_1+f_2=f_1^{\prime }+f_2^{\prime }$かつ$(f_1,f_2),(f_1\prime ,f_2\prime )\in N^{\perp }$であれば、$$(f_1-f_1\prime ,f_2-f_2\prime )\in N^{\perp }$$が成立します。他方、$f_1+f_2=v(f_1,f_2)=v(f_1\prime ,f_2\prime )=f_1^{\prime }+f_2^{\prime }$は、$$(f_1-f_1\prime ,f_2-f_2\prime )\in N$$を意味し、両者より、$(f_1-f_1\prime ,f_2-f_2\prime )=(0,0)$が成立します。

$H=H_1+H_2$が以下の内積をもつとき、$H$は完備(Hilbert空間)となります。$$⟨f,g{⟩}_H:=⟨v^{-1}(f),v^{-1}(g){⟩}_F,f,g\in H$$実際、$F$がHilbert空間で、$N^{\perp }$はその閉部分空間(テキスト命題20の1)ですから、$N^{\perp }$は完備となり、$\Vert f_n-f_m{\Vert }_H\to 0⟺\Vert v^{-1}(f_n-f_m){\Vert }_F\to 0$
$⟹$ $\Vert v^{-1}(f_n)-g{\Vert }_F\to 0$なる$g\in N^{\perp }$が存在$⟹$ $\Vert f_n-v(g){\Vert }_H\to 0$が成立します。

$H_1$, $H_2$が再生核$k_1,k_2$をもつとき、上記のように定義されたHilbert空間$H:=H_1+H_2$は、$k_1+k_2$を核とするRKHSになります。この証明は(難しくありません)、テキストの付録を参照してください。