Aronszajnというカーネルの数学者の結果です。「機械学習のためのカーネル 100問」の3.1節に掲載していますが、少しくだいてみました。テキストを最初から読んでいるか、関数解析を勉強したことのある人なら理解できると思います。

$H_1,H_2$をHilbert空間としたときに、その直積
$F:=H_1\times H_2$は、内積
$$
\langle (f_1,f_2),(g_1,g_2)\rangle_F := \langle f_1,g_1\rangle_{H_1}+\langle f_2,g_2\rangle_{H_2}, \hspace{5mm}
f_1,g_1\in H_1,\hspace{5mm} f_2,g_2\in H_2
$$のもとで、Hilbert空間になります。実際、$\|f_{1,n}-f_{1,m}\|_{H_1}$, $\| f_{2,n}- f_{2,m}\|_{H_2}$が
$$\hspace{3mm}\sqrt{\|f_{1,n}-f_{1,m}\|_{H_1}^2+\| f_{2,n}- f_{2,n}\|_{H_2}^2}=\|(f_{1,n},f_{2,n})-(f_{1,m},f_{2,m})\|_{F}
$$以下であることを用いると、以下が成立します。
$\{(f_{1,n},f_{2,n})\}$がCauchy $\Longrightarrow $ $\{f_{1,n}\}$, $\{f_{2,n}\}$がCauchy
$\Longrightarrow $ $\{f_{1,n}\}$, $\{f_{2,n}\}$がある$f_1\in H_1,f_2\in H_2$に収束
$\Longrightarrow $ $\|(f_{1,n},f_{2,n})-(f_{1},f_{2})\|_F= \sqrt{\|f_{1,n}-f_{1}\|^2+\|f_{2,n}-f_{2}\|^2}\rightarrow 0$
$\Longrightarrow $ $\{(f_{1,n},f_{2,n})\}$が$(f_1,f_2)\in F$に収束
すなわち、$H_1$,$H_2$が完備なら、$F$も完備です。

次に、$H_1,H_2$の直和
$H:=H_1 + H_2:=\{f_1+f_2|f_1\in H_1,f_2\in H_2\}$について考えます。$F$を写像$$u: F\ni (f_1,f_2)\mapsto f_1+f_2\in H$$の核$N:=\{(f_1,f_2)\in F|f_1+f_2=0\}$と、その直交補空間$N^\perp:=\{x\in F\mid \langle x,y\rangle=0, y\in N\}$に分解すると、$$N\cap N^\perp=\{(0,0)\}$$が成立します。ここで、$u$を$N^\perp$に制限した$v: N^\perp \rightarrow H$は単射$$v(f_1,f_2)=v(f_1′,f_2′)\Longrightarrow (f_1,f_2)=(f_1′,f_2′)$$になります。実際、$f_1+f_2=f_1’+f_2’$かつ$(f_1,f_2),(f_1′,f_2′)\in N^\perp$であれば、$$(f_1-f_1′,f_2-f_2′)\in N^\perp$$が成立します。他方、$f_1+f_2=v(f_1,f_2)=v(f_1′,f_2′)=f_1’+f_2’$は、$$(f_1-f_1′,f_2-f_2′)\in N$$を意味し、両者より、$(f_1-f_1′,f_2-f_2′)=(0,0)$が成立します。

$H=H_1+H_2$が以下の内積をもつとき、$H$は完備(Hilbert空間)となります。$$\langle f,g\rangle_H:=\langle v^{-1}(f),v^{-1}(g)\rangle_F\ ,\hspace{5mm}f,g\in H$$実際、$F$がHilbert空間で、$N^\perp$はその閉部分空間(テキスト命題20の1)ですから、$N^{\perp}$は完備となり、$\|f_n-f_m\|_H\rightarrow 0 \Longleftrightarrow \|v^{-1}(f_n-f_m)\|_F\rightarrow 0$
$\Longrightarrow$ $\|v^{-1}(f_n)-g\|_F\rightarrow 0$なる$g\in N^\perp$が存在$\Longrightarrow $ $\|f_n-v(g)\|_H\rightarrow 0$が成立します。

$H_1$, $H_2$が再生核$k_1,k_2$をもつとき、上記のように定義されたHilbert空間$H:=H_1 + H_2$は、$k_1+k_2$を核とするRKHSになります。この証明は(難しくありません)、テキストの付録を参照してください。