$$\int_{-\infty}^\infty \frac{1-\cos t}{t^2}dt=\pi$$
の積分は、フーリエ変換に詳しい人はわかると思いますが、学校を卒業して何年も立っている人だとむずかしいかもしれません。

その証明のためには、$f(x)=\sin(x)/x$のフーリエ変換とパーシバルの等式を用います。まず、$F(\omega)=\pi$ ($|\omega|\leq 1$), $=0$ ($|\omega|> 1$)が$f(x)$のフーリエ変換であることに注意します。実際、$F(\omega)$の逆フーリエ変換をすると、$f(x)$が得られます。
$$ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega x}d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-1}^1 \pi e^{i\omega x}d\omega = \frac{1}{2\pi}\cdot \frac{\pi}{ix}(e^{ix}-e^{-ix})=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2ix}=\frac{\sin(x)}{x}=f(x)$$
そして、パーシバルの公式
$$\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty |F(\omega)|^2d\omega$$
を用いると、その積分の値が求まります。
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{1-\cos t}{t^2}dt=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \{\frac{\sin(t/2)}{t/2}\}^2dt=\int_{-\infty}^\infty \{\frac{\sin(x)}{x}\}^2dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-1}^1 \pi^2d\omega=\pi$$